Rappresentazione grafica con CAD 2D e 3D di un ICOSAEDRO.

L’ ICOSAEDRO è un poliedro regolare formato fa venti facce, costituite da triangoli equilateri; inoltre presenta 30 spigoli uguali e 12 vertici.
Un poliedro regolare è una porzione di spazio delimitata da un certo numero di facce a forma poligonale regolare, cioè che hanno le stesse dimensioni dei lati e degli angoli. Tutti i vertici del poliedro regolare giacciono sulla superficie di una sfera che contiene il solido (solido inscritto nella sfera).
I poliedri regolari sono cinque, definiti anche solidi platonici, perchè studiati anche da Platone, e sono: Tetraedro, Esaedro (cubo), Ottaedro, Pentadodecaedro, Icosaedro.

Gli screenshot delle schermate del software CAD presentati in questa pagina web hanno la funzione di mostrare oltre alla successione delle varie fasi di disegno anche l’uso di linee e layer diversi a seconda della funzione grafica.

Legenda e significato delle linee colorate utilizzate nei disegni.

• Celeste: linea (leggera) che indica la quota o la dimensione di un elemento (spessore 0.15mm);
• Bianco: linea (leggera) geometria reale 3D (spessore 0.25 mm);
• Giallo: linea (leggera) che indica un elemento fondamentale per la costruzione del metodo di rappresentazione ,PV, PO, PV,LO e LT, linea tratto e punto, linea di sezione (spessore 0.25 mm);
• Magenta: linea (leggera) di costruzione e riporto delle proiezioni (spessore 0.18mm);
• Rosso: linea (calcata) indica il disegno visibile definitivo (spessore 0.3mm);
• blu: linea (leggera) indica il tratteggio delle campitura nelle sezioni ( spessore 0,08 mm);
• verde: linea (leggera) indica un elemento importante per la costruzione geometrica (spessore 0.25mm).

Rappresentazione 2D

Le immagini seguenti fanno riferimento alla rappresentazione 2D, in proiezioni ortogonali, dell’ICOSAEDRO, con la successione delle varie fasi di elaborazione grafica da leggersi da sinistra a destra.
La rappresentazione di questo solido è complessa perchè è composto da tante facce che genericamente sono oblique rispetto ai piani di proiezione, e pertanto necessitano di ribaltamenti vari. Per comprenderne al meglio le caratteristiche geometriche ai fini della rappresentazione è utile maneggiare un modello cartaceo o perlomeno un modello digitale come proposto nell’immagine interattiva posizionata in alto a questa pagina.
Ad esempio è possibile notare alcune caratteristiche geometriche fondamentali di questo solido platonico:
– i vertici si dispongo a coppie su ogni asse diametrale, cioè è sempre possibile individuare partendo da un vertice il suo opposto che si dispone sulla superficie sferica che contiene il solido stesso (il diametro della sfera costituisce la distanza tra due vertici opposti);
– anche gli spigoli sono disposti diametralmente opposti e mantengono il parallelismo;
– gli spigoli diametralmente opposti, se uniti con due segmenti passanti per i vertici formano un rettangolo aureo ( il cui lato minore corrisponde a uno spigolo dell’icosaedro) e la diagonale di questo rettangolo corrisponde al diametro della sfera che contiene il solido.

Per tracciare le proiezioni ortogonali, l’icosaedro viene disposto con un vertice appoggiato sul PO e il suo opposto sulla perpendicolare al PO, formando così l’altezza; tale altezza costituisce anche il diametro della sfera che contiene il solido.
Visto dall’alto pertanto il solido si configura come due pentagoni regolari sovrapposti e ruotati tra loro.

Sul piano orizzontale si disegna un pentagono regolare, inscritto in una circonferenza, avente il lato uguale al lato dei triangoli equilateri.
Concentrico al primo, costruiamo un secondo pentagono ruotato in modo che i suoi vertici stiano sui prolungamenti delle altezze dei cinque triangoli isosceli nei quali è suddiviso il pentagono.
Uniamo i vertici dei due pentagoni in modo da ottenere il decagono che delimita il profilo più esterno dell’icosaedro.
Ribaltiamo sul PO una faccia dell’icosaedro ottenendo la vera dimensione del triangolo equilatero che la compone.

Fase 1: per determinare il diametro della sfera che contiene il solido e di conseguenza l’altezza da ripotare sul PV, tracciamo in verde il rettangolo (visto scorciato) che unisce i quattro vertici di due spigoli opposti ;
Fase 2: l’altezza reale del rettangolo verde è pari a un lato dell’icosaedro; ribaltiamo l’altezza del rettangolo sul PO. L’ipotenusa del triangolo rettangolo che si viene a determinare costituisce il diametro della sfera che contiene l’icosaedro e di conseguenza anche l’altezza dei due vertici opposti del solido. Nel disegno la circonferenza verde rappresenta la proiezione della sfera.

Fase 3: dai vertici opposti in pianta (nel diametro parallelo alla LT) traccio le linee di riporto sul PV fino ad intersecare la circonferenza verde della sfera. Da tali intersezioni traccerò due linee orizzontali (gialle nel disegno) che divideranno l’intero icosaedro in tre fasce. Riportando sul PV la proiezione di un lato del pentagono , questa intersecherà la linea gialla superiore in un punto che costituisce un vertice dell’icosaedro.
Fase 4-5-6 : tracciando le linee di riporto degli altri vertici dei pentagoni in pianta verso il PV e intersecandole con le due linee gialle di riferimento è possibile individuare gli altri spigoli rimanenti dell’icosaedro. Nei disegni sono tracciate anche le linee di ribaltamento (color magenta) che visualizzano la verifica della uguaglianza delle dimensione degli spigoli in proiezione frontale dell’icosaedro.
Fase 7: con le linee di riporto provenienti dal disegno in prima e seconda proiezione viene tracciata la terza proiezione dell’icosaedro.

Le principali quote dimensionali visualizzate nel disegno 2D saranno utilizzate per costruire la modellazione 3D dell’icosaedro.

Modellazione 3D

Le immagini seguenti fanno riferimento alle principali sequenze operative per la modellazione 3D del ICOSAEDRO, con la successione delle varie fasi di elaborazione grafica da leggersi da sinistra a destra.
La visualizzazione proposta è del tipo a “Raggi X” in quanto consente sia la percezione della trasparenza delle linee che la volumetria dei corpi.

Prima schermata.
Fase 1 ( a sinistra): accanto al pentagono (linea rossa continua) è stato costruito il ribaltamento in vera dimensione del triangolo equilatero che costituisce una faccia dell’icosaedro.
Fase 2 ( al centro): il ribaltamento in vera dimensione del triangolo equilatero è stato riportato dal lato opposto, sull’asse che contiene il centro del pentagono.
Fase 3 (a destra): dal centro del pentagono è stata determinata l’altezza della piramide a base pentagonale attraverso una rotazione 3D di 37.38° (vedi disegno 2D) del triangolo disegnato nella fase precedente.

Seconda schermata.
Fase 4 (a sinistra): la faccia della piramide è stata individuata tramite una polilinea (linea bianca);
Fase 5 (al centro): con lo strumento “serie polare” è stata ripetuta la poligonale precedentemente disegnata per altre 4 volte;
Fase 6 (a destra): la piramide che costituisce la parte superiore dell’icosaedro (linea bianca )è stata isolata dal disegno del pentagono

Terza schermata.
Fase 7 ( a sinistra): è stata creata una copia della piramide della fase precedente e posizionata in basso assialmente;
Fase 8 (a destra): la piramide copiata in basso è stata capovolta di 180° con lo strumento “ruota 3D”.

Quarta schermata.
Fase 9 ( a sinistra): la base della piramide in basso è stata ruotata orizzontalmente di metà lato del pentagono con lo strumento “ruota 3D”. Inoltre è stata aggiunta all’altezza della piramide superiore l’altezza del corpo centrale dell’icosaedro, pari a 8.50 (vedi disegno 2D).
Fase 10 (a destra): unito la piramide inferiore, tramite l’altezza, alla altezza della piramide superiore prima tracciata (8.50), in modo da ottenere un’altezza complessiva dell’icosaedro pari a 19.02.

Quinta schermata.
Fase 11 e 12 (a sinistra e centro): dalle due piramidi prima tracciate isoliamo solo le basi (polilinea) per determinare il corpo centrale dell’icosaedro;
Fase 13 ( a destra): con lo strumento “loft” viene creato il solido che ha come base inferiore e superiore le basi pentagonali isolate nella fase precedente.

Sesta schermata.
Fase 14-15 (sinistra e centro ): con lo strumento “unione ” uniamo le piramidi superiore e inferiore con il corpo centrale creato nella fase precedente e otteniamo cosi la modellazione solida completa dell’icosaedro.
Nell’immagine a destra è visibile l’icosaedro con le facce in trasparenza per visualizzare anche gli spigoli retrostanti.